Questão FC281531
Seja a função densidade de probabilidade f(x) = 2x – 4, se 2 ≤ x ≤ 3, e f(x) = 0 para outros valores. A função distribuição acumulada de f(x) será:
Variáveis Aleatórias
VUNESP · 2024
Seja a função densidade de probabilidade f(x) = 2x – 4, se 2 ≤ x ≤ 3, e f(x) = 0 para outros valores. A função distribuição acumulada de f(x) será:
- F(x) = 0, se x < 2; F(x) = x² - 4x, se 2 ≤ x ≤ 3; F(x) = 1, se x > 3.
- F(x) = 0, se x < 2; F(x) = x² - 4x + 4, se 2 ≤ x ≤ 3; F(x) = 1, se x > 3.
- F(x) = x² - 4x, se - ∞ ≤ x ≤ 3; F(x) = 1, se x > 3.
- F(x) = x² - 4x + 4, se - ∞ ≤ x ≤ 3; F(x) = ∞, se x > 3.
- F(x) = 1, se 2 ≤ x ≤ 3.
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Gabarito
B
Comentário do professor
A função distribuição acumulada \(F(x)\) é dada por \(F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\). Como \(f(t)=0\) fora de \([2,3]\), temos imediatamente F(x)=0 para \(x<2\).
Para \(2\le x\le 3\) calculamos a integral desde 2 até \(x\):
\(F(x)=\int_{2}^{x} (2t-4)\,dt = \left[t^{2}-4t\right]_{2}^{x} = x^{2}-4x - (4-8) = x^{2}-4x+4\).
Para \(x>3\) toda a massa está acumulada, logo F(x)=1. Verificação: \(F(3)=3^{2}-4\cdot3+4=9-12+4=1\), consistente com a propriedade de uma CDF.
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