Uma variável aleatória x tem sua função densidade de probabilidade mostrada no gráfico a seguir. Assinale a alternativa que determina a mediana de x.

Gabarito

B

Comentário do professor

Do gráfico obtemos a função densidade no intervalo \([0,1]\): \(f(x)=-2x+2\), pois a reta passa por \((0,2)\) e \((1,0)\).

A mediana \(m\) satisfaz \( \displaystyle \int_0^{m} f(x)\,dx=\tfrac12\). Substituindo \(f\):

\(\displaystyle \int_0^{m}(-2x+2)\,dx =\left[-x^2+2x\right]_0^m = -m^2+2m = \tfrac12\).

Rearranjando resulta a equação quadrática \(2m^2-4m+1=0\). Aplicando a fórmula de Bhaskara:

\(m=\dfrac{4\pm\sqrt{16-8}}{4}=1\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\). Como \(m\in[0,1]\), a única solução admissível é \(m=1-\dfrac{\sqrt2}{2}\).