Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada por: \(\begin{cases}0 & \text{para } x<2 \\ {\large{x-2 \over 2}} & \text{para } 2 \le x < 4 \\ 1 & \text{pa

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Da função de distribuição \(F(x)\) nota-se que, para \(2\le x<4\), \(F(x)=(x-2)/2\). Derivando, a densidade é \(f(x)=1/2\) em \([2,4)\) e zero fora.

Calcule \( \mathbf{E(X)}=\int_{2}^{4} x\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_2^4=\frac{1}{2}(8-2)=3.\)

Para \(E(X^2)\): \(E(X^2)=\int_{2}^{4} x^2\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^4=\frac{1}{2}\left(\frac{64-8}{3}\right)=\frac{28}{3}.\)

Então a variância é \( \mathbf{V(X)}=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{28}{3}-9=\frac{1}{3}.\)

Finalmente, \(E(X)-V(X)=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\), que confirma o resultado.