A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por: \(f(x) = { \begin{cases} Kx,\,\,se\,0\,\le\,x\,\le 2\\\,\,0\,\,caso\,contrario \end{cases}}\) Se K é um

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela normalização: \(\int_0^2 Kx\,dx=1\Rightarrow K\frac{2^2}{2}=1\), então \(K=\tfrac{1}{2}\).

Calcule a média \(E(X)=\int_0^2 x\cdot f(x)\,dx=\int_0^2 x\cdot Kx\,dx=K\frac{2^3}{3}\). Com \(K=\tfrac{1}{2}\) vem \(E(X)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}\).

A mediana \(M\) satisfaz \(\int_0^M Kx\,dx=0{,}5\Rightarrow K\frac{M^2}{2}=0{,}5\). Substituindo \(K=\tfrac{1}{2}\) obtemos \(\frac{M^2}{4}=0{,}5\), então \(M^2=2\) (logo \(M=\sqrt{2}\), se quiser).

Finalmente, o produto da média pelo quadrado da mediana é \(E(X)\cdot M^2=\tfrac{4}{3}\cdot 2=\tfrac{8}{3}\).