Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais apenas uma é correta) para ca

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Cada questão tem probabilidade de acerto \(p=1/5\) e erro \(q=4/5\); o número de acertos segue a distribuição binomial \(X\sim\text{Bin}(25,p)\). Queremos \(P(X\ \text{par})\).

Considere as expansões pelo binômio de Newton: \((q+p)^{25}=\sum_{k=0}^{25}\binom{25}{k}q^{25-k}p^k\) e \((q-p)^{25}=\sum_{k=0}^{25}\binom{25}{k}q^{25-k}(-p)^k\).

Somando-as, os termos com \(k\) ímpar se cancelam, sobrando o dobro da soma das probabilidades com \(k\) par. Assim:

\(2P(X\ \text{par})=(q+p)^{25}+(q-p)^{25}.\)

Como \(q+p=1\) e \(q-p=4/5-1/5=3/5\), temos

\(P(X\ \text{par})=\dfrac{1+(3/5)^{25}}{2}.\)