Uma doença atinge um indivíduo a cada mil. Qual é, aproximadamente, a probabilidade de que, numa comunidade de dois mil indivíduos, quatro contraiam a doença?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Quando temos muitos ensaios com probabilidade pequena de evento, é natural usar o modelo de Poisson como aproximação da binomial. Aqui, n = 2000 e p = 1/1000, logo a média esperada é \( \lambda = n p = 2000\cdot\frac{1}{1000}=2\).

Uma variável X com distribuição de Poisson tem \(P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\). Substituindo \(\lambda=2\) e \(k=4\) obtemos

\(P(X=4)=\dfrac{e^{-2}\,2^4}{4!}=\dfrac{e^{-2}\cdot16}{24}.\)

Simplificando a fração, \(16/24=2/3\). Assim a probabilidade pedida é \(\boxed{\dfrac{2}{3}e^{-2}}\), que corresponde à alternativa correta.