Suponha que uma variável aleatória X apresente uma distribuição geométrica com variância igual a 10/9. A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer no segundo ensaio é de:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A variável X segue a geométrica no modelo de número de tentativas, com massa \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\). A relação entre variância e o parâmetro é \(Var(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\).

Como \(Var(X)=\dfrac{10}{9}\), igualamos e obtemos \( \dfrac{1-p}{p^2}=\dfrac{10}{9}\). Multiplicando e organizando resulta a equação quadrática \(10p^2+9p-9=0\).

Resolvendo, \(p=\dfrac{-9\pm\sqrt{9^2+360}}{20}=\dfrac{-9\pm21}{20}\). A solução válida em \(0

Portanto a probabilidade do primeiro sucesso no segundo ensaio é \(P(X=2)=(1-p)^{1}p=(0{,}4)(0{,}6)=0{,}24\), ou seja, 24%.