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Questão FC281565

Seja o vetor aleatório (X1, X2) com distribuição normal multivariada. Então é correto afirmar:

Principais Distribuições Contínuas

VUNESP · 2024

Seja o vetor aleatório (X1, X2) com distribuição normal multivariada. Então é correto afirmar:

  1. Y = aX1 + bX2 tem distribuição normal univariada para quaisquer números reais a e b diferentes de zero.
  2. Qualquer curva de nível da função de densidade de (X1, X2) é um círculo.
  3. Para que uma curva de nível da função de densidade de (X1, X2) seja um círculo, a correlação entre X1 e X2 deve ser perfeita.
  4. T = X1 + X2 tem distribuição t-Student com dois graus de liberdade.
  5. Q = X1 + X2 tem distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A afirmação está correta porque uma propriedade fundamental da distribuição normal multivariada é que qualquer combinação linear das componentes é também normal.

Escrevendo \(Y=aX_1+bX_2\) como \(Y=\mathbf{c}^\top\mathbf{X}\) com \(\mathbf{c}=(a,b)\) e \(\mathbf{X}=(X_1,X_2)^\top\), temos que \(Y\) é uma transformação linear de \(\mathbf{X}\). Se \(\mathbf{X}\) é multivariada normal, então \(Y\) tem distribuição normal univariada.

Além disso, a média e a variância de \(Y\) são dadas por \(\mathbb{E}[Y]=a\mathbb{E}[X_1]+b\mathbb{E}[X_2]\) e \(\mathrm{Var}(Y)=a^2\mathrm{Var}(X_1)+b^2\mathrm{Var}(X_2)+2ab\,\mathrm{Cov}(X_1,X_2)\).

Assim, para quaisquer reais \(a\) e \(b\) a combinação linear \(Y\) segue uma normal univariada com os parâmetros acima.

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