Questão FC281572
Seja uma amostra aleatória simples de n = 100 observações de X. Seja \(\overline{X}\) a média aritmética simples dessa amostra. Dado alguns valores da função de distribuição acumul
Principais Distribuições Contínuas
VUNESP · 2023
Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada por:
\(p(k)=P(X=k)={\large{e^{-4} \times 4^k \over k!}}\) para \(k=0,1,2,...\)
Seja uma amostra aleatória simples de n = 100 observações de X. Seja \(\overline{X}\) a média aritmética simples dessa amostra. Dado alguns valores da função de distribuição acumulada da normal padrão com três decimais: \(\Phi (0)=0,500\); \(\Phi (1)=0,841\); \(\Phi (2) =0,977\) e \(\Phi (5) = 1,000\).Qual é a probabilidade de \(\overline{X}\) ser maior que seis?
- \(1- \sum_{k=0}^5 {\large{e^{-4}\times 4^k \over k!}}\)
- 0,000 (considerando resultado até três decimais)
- 0,977 (considerando resultado até três decimais)
- 0,023 (considerando resultado até três decimais)
- O número e (e \(\cong\) 2,718)
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Gabarito
B
Comentário do professor
A variável X segue Poisson com parâmetro \( \lambda=4\); logo, sua média e variância são iguais a 4.
Para uma amostra de tamanho \(n=100\), pelo Teorema Central do Limite a média amostral \(\overline{X}\) é aproximadamente normal com média \(\mu=4\) e variância \(\sigma^2=\lambda/n=4/100=0{,}04\), então \(\sigma=0{,}2\).
Calculamos a probabilidade desejada padronizando:
\(Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma}=\dfrac{6-4}{0{,}2}=10\).
Assim, \(P(\overline{X}>6)=P(Z>10)\), que é uma cauda extremamente remota da normal padrão. Como \(\Phi(5)=1{,}000\) e 10 é muito maior que 5, essa probabilidade é praticamente zero.
Resposta (arredondada a três decimais): 0,000.
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