Considere a distribuição exponencial descrita pela função densidade de probabilidade a seguir: \(f(x)=\begin{cases} \beta \, e^{-2x} & x \ge 0 \\ 0 & x<0 \end{cases}\) Neste caso,

Gabarito

B

Comentário do professor

A densidade dada é \(f(x)=\beta e^{-2x}\) para \(x\ge0\).

Para ser uma fdp válida, a integral de \(f\) em \([0,\infty)\) deve valer 1: \(\beta\int_0^\infty e^{-2x}\,dx= \beta\cdot\frac{1}{2}=1\). Assim, \(\beta=2\).

A distribuição assume a forma exponencial padrão \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) com \(\lambda=2\).

A média da exponencial é \(\mu=\dfrac{1}{\lambda}\). Substituindo, \(\mu=\dfrac{1}{2}\).

Alternativamente, calculando diretamente \(\int_0^\infty x f(x)\,dx=\beta\int_0^\infty x e^{-2x}\,dx=\beta\cdot\frac{1}{4}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\), confirmando o resultado.