Seja {1, 1, 2, 2, 4} uma amostra de uma população cuja distribuição é exponencial com parâmetro \(\beta\). Determine o estimador de máxima verossimilhança para \(\beta\) e assinale

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Assumindo a parametrização em que \(\beta\) é a **taxa (rate)** da exponencial, a densidade é \(f(x|\beta)=\beta e^{-\beta x}\).

A função verossimilhança para a amostra é \(L(\beta)=\beta^n e^{-\beta\sum x_i}\), logo a log-verossimilhança é \(\ell(\beta)=n\ln\beta-\beta\sum x_i\).

Diferenciando e igualando a zero: \(\dfrac{d\ell}{d\beta}=\dfrac{n}{\beta}-\sum x_i=0\), daí o **estimador de máxima verossimilhança** é \(\hat{\beta}=\dfrac{n}{\sum x_i}=\dfrac{1}{\bar{x}}\).

Calculando a **média amostral**: \(\bar{x}=(1+1+2+2+4)/5=2\). Então \(\hat{\beta}=1/2=0{,}5\), conforme a alternativa correta.