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Questão FC281594

Considere que X1, X2, …, Xn são n variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão. Faça Y igual à soma dos quadrados de todos os X. A distribuição de probabilidad

Principais Distribuições Contínuas

VUNESP · 2023

Considere que X1, X2, …, Xn são n variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão. Faça Y igual à soma dos quadrados de todos os X. A distribuição de probabilidade de Y será:

  1. Normal com média n.
  2. Qui-quadrado, com n graus de liberdade.
  3. t, de Student, com n-1 graus de liberdade.
  4. F, com n graus de liberdade.
  5. de Poisson.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Partindo da definição: se \(X_1,\dots,X_n\) são variáveis independentes e seguem distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então a soma dos seus quadrados gera a lei conhecida como qui-quadrado.

Formalmente, \(Y = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2\) satisfaz \(Y \sim \chi^2_n\).
Isso decorre diretamente da definição da distribuição qui-quadrado: é a soma de \(n\) quadrados de normais padrão independentes.

O parâmetro \(n\) é o número de termos somados, ou seja, os graus de liberdade. É essencial manter a condição de independência e a padronização das normais para valer essa propriedade.

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