Questão FC281596
Considere X uma variável aleatória discreta, em que X ~ Binomial(n, p). Sobre essa distribuição, é correto afirmar que
Momentos
VUNESP · 2024
Considere X uma variável aleatória discreta, em que X ~ Binomial(n, p). Sobre essa distribuição, é correto afirmar que
- a função geradora de momentos é dada por: MX ( t ) = (p et + 1 – p) n
- o terceiro momento dessa variável aleatória não existe, então não é possível determinar o coeficiente de curtose.
- a função geradora de momentos é dada por: MX ( t ) = (p et + 1 – n) p
- o segundo momento dessa variável aleatória é dado por: p (n p – p + 1)
- o segundo momento dessa variável aleatória é dado por: n p (n p + p – 1) Notação: f(y) = e y: é a função exponencial cuja base é o número de Euler.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Pela definição, a função geradora de momentos de uma variável discreta é \(M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{k=0}^n e^{tk}P(X=k)\).
Para \(X\sim\) Binomial(n,p) temos \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}\). Substituindo na esperança:
\(M_X(t)=\sum_{k=0}^n e^{tk}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\bigl(p\,e^t\bigr)^k(1-p)^{\,n-k}\).
Pela expansão binomial, essa soma é \(\bigl((1-p)+p\,e^t\bigr)^n\). Portanto
\(M_X(t)=\bigl(p\,e^t+1-p\bigr)^n\), que é a expressão correta.
Uma observação alternativa: como a binomial é soma de n Bernoulli independentes, o MGF é o produto dos MGFs individuais, também resultando em \(\bigl((1-p)+p\,e^t\bigr)^n\).
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