Considere X uma variável aleatória em que sua função geradora de momentos é dada por: \(M_X (t) = e^{ { \large t^2 \over 2}}\) É correto afirmar que a média e a variância de Y = μ

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Da função geradora de momentos \(M_X(t)=e^{t^2/2}\) obtemos os momentos pela derivação: \(M_X'(t)=t e^{t^2/2}\) e \(M_X''(t)=(1+t^2)e^{t^2/2}\). Avaliando em \(t=0\) segue \(M_X'(0)=0\) e \(M_X''(0)=1\).

Portanto, E(X)=0 e Var(X)=1, pois \(E(X)=M_X'(0)\) e \(Var(X)=M_X''(0)-[M_X'(0)]^2\).

Para \(Y=\mu+\sigma X\), aplicam-se propriedades lineares: \(E(Y)=\mu+\sigma E(X)=\mu\) e \(Var(Y)=\sigma^2 Var(X)=\sigma^2\).

Logo, a média e a variância de \(Y\) são, respectivamente, E(Y)=\mu e Var(Y)=\sigma^2.