Questão FC281598
Uma variável aleatória X se distribui uniformemente no intervalo (2, 5). A função geratriz de momentos \(M_x(t)\) de X é dada por
Momentos
VUNESP · 2020
Uma variável aleatória X se distribui uniformemente no intervalo (2, 5). A função geratriz de momentos \(M_x(t)\) de X é dada por
\({ \large e^{3t} \over 3t}\)
\({ \large e^{5t} - e^{2t} \over 3}\)
\({ \large e^{5t} - e^{2t} \over t}\)
\({ \large e^{5t} - e^{2t} \over 3t}\)
\({ \large e^{3t} \over t}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
A Função Geradora de Momentos é definida por \(M_X(t)=E(e^{tX})\). Para a variável X que é uniforme no intervalo \((2,5)\), a densidade é \(f_X(x)=1/3\) para \(2
Portanto
\(M_X(t)=\int_{2}^{5} e^{tx}\frac{1}{3}\,dx.\)
Integrando, para \(t\neq 0\), temos \(\int e^{tx}dx=\frac{e^{tx}}{t}\). Avaliando de 2 a 5 resulta
\(M_X(t)=\dfrac{e^{5t}-e^{2t}}{3t}\).
Obs.: para \(t=0\) aplica-se o limite, obtendo \(M_X(0)=1\), o que garante continuidade da função geradora de momentos.
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