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Questão FC281606

Considere uma população de tamanho N, com média populacional μ, dividida em H estratos, de tamanho Nh, em que de cada estrato foi sorteada aleatoriamente uma amostra de tamanho nh,

Amostragem

VUNESP · 2024

Considere uma população de tamanho N, com média populacional μ, dividida em H estratos, de tamanho Nh, em que de cada estrato foi sorteada aleatoriamente uma amostra de tamanho nh, podendo ou não ter sido utilizado o mesmo plano amostral dentro de cada estrato. Seja h um estimador não viesado da média h do estrato h.


Nesse caso, o estimador não viesado da média populacional μ é dado por:

  1. \(\hat{ \mu} \sum_{h=1}^H\,\, \hat{ \mu_h}\)

  2. \(\hat{ \mu} = { \large \sum_{h=1}^H \hat{ \mu_h} \over N}\)

  3. \(\hat{ \mu} = { \large \sum_{h=1}^H \hat{ \mu_h} \over \sum_{h=1}^H N_h}\)

  4. \(\hat{ \mu} = | \sum_{h=1}^H N_h\hat{ \mu_h}\)

  5. \(\hat{ \mu} = { \large 1 \over N} \sum_{h=1}^H N_h \hat{ \mu_h}\)

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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A expressão \( \hat{\mu} = \dfrac{1}{N}\sum_{h=1}^H N_h \hat{\mu}_h \) combina as médias estratificadas por uma ponderação proporcional ao tamanho de cada estrato, isto é, cada estrato contribui na medida de sua representatividade na população.


Seja \(\hat{\mu}_h\) um estimador não viesado da média do estrato \(h\). Pela linearidade da esperança, temos \(E(\hat{\mu})=\dfrac{1}{N}\sum_{h=1}^H N_h E(\hat{\mu}_h)=\dfrac{1}{N}\sum_{h=1}^H N_h \mu_h\), que é exatamente a média populacional \(\mu\).


Portanto, a fórmula garante a não viesabilidade de \(\hat{\mu}\) desde que cada \(\hat{\mu}_h\) seja não viesado, independentemente do plano amostral adotado em cada estrato.


Em termos práticos, pode-se ver os pesos como \(W_h=N_h/N\); assim, \(\hat{\mu}=\sum_{h=1}^H W_h \hat{\mu}_h\), reforçando a ideia de média ponderada pelas dimensões dos estratos.

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