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Questão FC281627

Para a realização de uma pesquisa com uma população de tamanho 5.000, decidiu-se dividir essa população em 2 estratos, conforme o quadro a seguir. Estrato (i) Tamanho (Ni) Desvio p

Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais

VUNESP · 2021

Para a realização de uma pesquisa com uma população de tamanho 5.000, decidiu-se dividir essa população em 2 estratos, conforme o quadro a seguir.

Estrato (i)

 Tamanho (Ni)

Desvio padrão (σi)
1 2.000 3
2 3.000 4

Total (N)

 5.000  

Uma amostra aleatória de tamanho 100, com reposição, foi extraída da população com partilha proporcional entre os estratos. Seja o estimador \(\bar{X}= { \Large { N_1 \bar{X}_1 \over N}} + { \Large { N_2 \bar{X}_2 \over N}}\), sendo \(\bar{X}_1\) e \(\bar{X}_2\) as médias amostrais dos estratos 1 e 2, respectivamente. A variância de \(\bar{X}\) é, então, igual a

  1. 0,132.
  2. 0,156.
  3. 0,250.
  4. 0,276.
  5. 0,360.
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Gabarito

A

Comentário do professor

O estimador da variância em amostragem estratificada é \(Var(\bar{X})=\sum_{i=1}^h\left(\dfrac{N_i}{N}\right)^2\dfrac{\sigma_i^2}{n_i}\). Como a amostragem foi feita com reposição, não se aplica correção de população finita.

Pela amostragem proporcional, \(n_1=100\cdot\dfrac{2000}{5000}=40\) e \(n_2=100\cdot\dfrac{3000}{5000}=60\).

Substituindo: \(Var(\bar{X})=\left(\dfrac{2000}{5000}\right)^2\!\dfrac{3^2}{40}+\left(\dfrac{3000}{5000}\right)^2\!\dfrac{4^2}{60}\). Calculando: \(0{,}16\cdot\dfrac{9}{40}=0{,}036\) e \(0{,}36\cdot\dfrac{16}{60}=0{,}096\).

Somando as contribuições obtém‑se \(Var(\bar{X})=0{,}036+0{,}096=0{,}132\), que é o resultado indicado.

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