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Questão FC281632

Sejam X1, ..., Xn uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída de tamanho n da variável aleatória X que tem distribuição Poisson de parâmetro θ. Sejam os estimado

Característica dos Estimadores

VUNESP · 2024

Sejam X1, ..., Xn uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída de tamanho n da variável aleatória X que tem distribuição Poisson de parâmetro θ.

 

Sejam os estimadores,  \(\hat{ \theta}_1 = 2 \bar{X}\) e \(\hat{ \theta}_2 = 2 + \bar{X}\), em que\(\bar{X} = \large { \sum_{i=1}^n X_i \over n}\), i =1, 2,...,n.

  1. \(\hat{ \theta}_1\) e \(\hat{ \theta}_2\) são estimadores não- viesados para \(\theta\)  e \(Var ( \hat{ \theta}_1) < Var (\hat{ \theta}_2)\)
  2. \(\hat{ \theta}_1\) e \(\hat{ \theta}_2\) são estimadores não-viesados para \(\theta\) e \(Var ( \hat{ \theta}_1) > Var (\hat{ \theta}_2)\)
  3. \(\hat{ \theta}_1\) e \(\hat{ \theta}_2\) são estimadores não -viesados para \(\theta\) e \(Var ( \hat{ \theta}_1) = Var (\hat{ \theta}_2)\)
  4. \(\hat{ \theta}_1\) e \(\hat{ \theta}_2\) são estimadores viesados para  e \(Var ( \hat{ \theta}_1) < Var (\hat{ \theta}_2)\)
  5. \(\hat{ \theta}_1\) e \(\hat{ \theta}_2\) são estimadores viesados para \(\theta\) e  \(Var ( \hat{ \theta}_1) > Var (\hat{ \theta}_2)\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Um estimador é não‑viesado se \(E(\text{estimador})=\theta\). Para a amostra Poisson temos \(E(\bar X)=\theta\) e \(Var(\bar X)=\theta/n\).

Calculando expectativas: \(E(\hat{\theta}_1)=E(2\bar X)=2E(\bar X)=2\theta\) e \(E(\hat{\theta}_2)=E(2+\bar X)=2+E(\bar X)=2+\theta\). Assim, \(\hat{\theta}_1\) e \(\hat{\theta}_2\) são viesados para \(\theta\), pois seus esperados não coincidem com \(\theta\).

Para as variâncias: \(Var(\hat{\theta}_1)=Var(2\bar X)=4Var(\bar X)=4\theta/n\). Como somar constante não altera variância, \(Var(\hat{\theta}_2)=Var(\bar X)=\theta/n\).

Portanto, \(Var(\hat{\theta}_1)=4\theta/n> \theta/n=Var(\hat{\theta}_2)\), confirmando que Var(\(\hat{\theta}_1\)) > Var(\(\hat{\theta}_2\)).

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