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Questão FC281633

Em uma população finita de N indivíduos, ao considerarmos uma variável de interesse X, a média e a variância populacionais serão obtidas por µ = \(\frac{1}{N}\)\(\textstyle \sum_{i

Característica dos Estimadores

VUNESP · 2021

Em uma população finita de N indivíduos, ao considerarmos uma variável de interesse X, a média e a variância populacionais serão obtidas por µ = \(\frac{1}{N}\)\(\textstyle \sum_{i=1}^N X_i\) e σ2 = \(\frac{1}{N}\) \(\textstyle \sum_{i=1}^N (X_i - μ)^2\) , respectivamente. No entanto, ao obtermos uma amostra aleatória simples de tamanho n da v.a. X, e adotarmos as estatísticas \(\overline{X}=\) \(\frac{1}{n}\) \(\textstyle \sum_{i=1}^n X_i\) S2 = \(\frac{1}{n}\) \(\textstyle \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\) , podemos afirmar que

  1. \(\overline{X}\) é viciada, mas assintoticamente não viciada para μ, S2 é viciada, mas assintoticamente não viciada para σ2.
  2. \(\overline{X}\) é viciada, mas assintoticamente não viciada para μ, S2 é não viciada para σ2.
  3. \(\overline{X}\) é não viciada para μ, S2 é viciada para σ2, com vício negativo.
  4. \(\overline{X}\) é não viciada para μ, S2 é não viciada para σ2.
  5. \(\overline{X}\) é não viciada para μ, S2 é viciada para σ2, com vício positivo.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Não viciada: A média amostral \( \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \) satisfaz \(E(\overline{X})=\mu\) pela linearidade da esperança; portanto é um estimador não viciado de \(\mu\).

Viciada: Considere \(S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\). Usando \(\sum(X_i-\overline{X})^2=\sum X_i^2-n\overline{X}^2\) obtemos

\(E(S^2)=E(X^2)-E(\overline{X}^2)\). Como \(E(X^2)=\sigma^2+\mu^2\) e \(E(\overline{X}^2)=\mathrm{Var}(\overline{X})+\mu^2=\sigma^2/n+\mu^2\),

\(E(S^2)=\sigma^2\left(1-\frac{1}{n}\right)\).

Logo o estimador é viciado com viés negativo: \(Viés(S^2)=E(S^2)-\sigma^2=-\dfrac{\sigma^2}{n}\).

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