Questão FC281634
Uma amostra aleatória de tamanho 3 (X, Y, Z) é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída com média μ e variância unitária. Seja E = (m – 1)X – (m – n)Y – (4
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2021
Uma amostra aleatória de tamanho 3 (X, Y, Z) é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída com média μ e variância unitária. Seja E = (m – 1)X – (m – n)Y – (4 – n)Z a classe dos estimadores não viesados utilizados para estimar a média μ da população. Dado que m e n são parâmetros reais, entre os estimadores dessa classe o mais eficiente apresenta uma variância igual a
- 1.
- 3.
- 4.
- 6.
- 11.
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Gabarito
B
Comentário do professor
Para que o estimador seja não viesado exigimos \(E(E)=\mu\). Como \(E(X)=E(Y)=E(Z)=\mu\), tem-se
\(\mu=(m-1)\mu-(m-n)\mu-(4-n)\mu=(2n-5)\mu\). Portanto \(2n-5=1\) e \(n=3\).
Com \(n=3\) e variância de cada observação igual a 1, a variância do estimador é
\(Var(E)=(m-1)^2+(m-3)^2+(4-3)^2=2m^2-8m+11.\)
Para obter a variância mínima minimizamos a quadrática: o vértice ocorre em \(m=-\dfrac{B}{2A}=\dfrac{8}{4}=2\). Substituindo \(m=2\) obtemos
\(Var_{\min}=2(2)^2-8(2)+11=3.\)
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