Dois estimadores não viesados, \(E_1\) = mX + nY + 2mZ e \(E_2\) = mX + (m + n)Y + 2nZ, são utilizados para estimar a média \(μ\) de uma população normal com variância igual a 49.

Gabarito

D

Comentário do professor

Como os estimadores são não viesados, imponha \(E(E_1)=E(E_2)=\mu\). Das expectativas obtemos o sistema \(3m+n=1\) e \(2m+3n=1\).

Subtraindo as equações surge \(m=2n\). Substituindo em \(3m+n=1\) vem \(7n=1\), logo \(n=\tfrac{1}{7}\) e \(m=\tfrac{2}{7}\).

Calcule \(Var(E_2)=49\big(m^2+(m+n)^2+4n^2\big)\). Com \(m=\tfrac{2}{7},\,n=\tfrac{1}{7}\) temos \(m^2=\tfrac{4}{49},\;(m+n)^2=\tfrac{9}{49},\;4n^2=\tfrac{4}{49}\).

A soma é \(\tfrac{17}{49}\), então \(Var(E_2)=49\cdot\tfrac{17}{49}=17\). Portanto o estimador mais eficiente tem variância igual a 17.