Uma amostra aleatória \((X_1, X_2)\) é extraída, com reposição, de uma população correspondente a uma variável aleatória X normalmente distribuída, com média μ e variância unitária

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Como os estimadores são não viesados, temos \(E(E_1)=E(E_2)=\mu\). Assim:

\(E(E_1)=4m\mu+2n\mu\Rightarrow 4m+2n=1\)
\(E(E_2)=2m\mu-2n\mu\Rightarrow 2m-2n=1\).

Resolvendo o sistema: somando as equações obtém-se \(6m=2\Rightarrow m=\tfrac{1}{3}\). Substituindo, vem \(2n=-\tfrac{1}{3}\Rightarrow n=-\tfrac{1}{6}\).

Como as observações são independentes (amostragem com reposição) e \(\operatorname{Var}(X)=1\), calculamos as variâncias:

\(\operatorname{Var}(E_1)=16m^2+4n^2=16\cdot\tfrac{1}{9}+4\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{17}{9}\).

\(\operatorname{Var}(E_2)=4m^2+4n^2=4\cdot\tfrac{1}{9}+4\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{5}{9}\).

O estimador mais eficiente é o de menor variância; portanto a variância do mais eficiente é \(\tfrac{5}{9}\).