Questão FC281642
O que se pode dizer sobre o estimador de máxima verossimilhança de θ?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória X com a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x) = 1 – e– θx
O que se pode dizer sobre o estimador de máxima verossimilhança de θ?
- É igual à média aritmética da amostra.
- É igual ao inverso da média aritmética da amostra.
- É igual à média geométrica da amostra.
- É igual à média harmônica da amostra.
- Precisa dos dois primeiros momentos da distribuição de X.
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Gabarito
B
Comentário do professor
A partir da FDA \(F(x)=1-e^{-\theta x}\) obtemos a densidade \(f(x)=\theta e^{-\theta x}\) para \(x>0,\ \theta>0\).
Escrevendo a verossimilhança para a amostra \((X_1,\dots,X_n)\): \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \theta e^{-\theta x_i}=\theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}\).
Tomando o logaritmo: \(\ln L(\theta)=n\ln\theta-\theta\sum_{i=1}^n x_i\). Diferenciando e igualando a zero: \(\dfrac{d}{d\theta}\ln L=\dfrac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n x_i=0\), o que leva a \(\hat\theta=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\).
Como \(\sum_{i=1}^n x_i=n\bar{X}\), segue \(\hat\theta=\dfrac{1}{\bar{X}}\). Portanto, o EMV de \(\theta\) é o inverso da média aritmética da amostra.
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