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Questão FC281643

Sejam \(X_1\), ..., \(X_n\) uma amostra aleatória da variável aleatória \(X \sim N(\mu,1)\). Sabendo que \(\hat{\mu} = \overline{X} = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right) / n\) é o es

Característica dos Estimadores

VUNESP · 2024

Sejam \(X_1\), ..., \(X_n\) uma amostra aleatória da variável aleatória \(X \sim N(\mu,1)\). Sabendo que \(\hat{\mu} = \overline{X} = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right) / n\) é o estimador de máxima verossimilhança de μ, então, pelo princípio da invariância, o estimador de máxima verossimilhança de \(g(\mu)=e^{-\mu}\) será:

  1. \(g(\hat{\mu}) = \overline{X}\)
  2. \(g(\hat{\mu}) = e^{-\overline{X}}\)
  3. \(g(\hat{\mu}) = -\overline{X}\)
  4. \(g(\hat{\mu}) = -\overline{X} e^{-\overline{X}}\)
  5. \(g(\hat{\mu}) = -e^{-\overline{X}}\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

\( \hat{\mu}=\overline{X} \) é o estimador de máxima verossimilhança para μ no modelo \(X\sim N(\mu,1)\), pois a função de verossimilhança é maximizada pela média amostral.

Pelo princípio da invariância do MLE, o estimador de máxima verossimilhança de qualquer função \(g(\mu)\) obtém‑se simplesmente aplicando \(g\) ao MLE de μ: \(g(\hat\mu_{\rm MLE})\).
Essa propriedade vale independentemente da forma de \(g\), não exigindo \(g\) linear.

Aplicando com \(g(\mu)=e^{-\mu}\), o estimador resultante é \(g(\hat\mu_{\rm MLE})=e^{-\hat\mu_{\rm MLE}}.\)

Portanto, o estimador de máxima verossimilhança de \(g(\mu)=e^{-\mu}\) é \(e^{-\overline{X}}\).

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