Questão FC281644
Considere uma amostra aleatória \(X_1\), ..., \(X_n\) de uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por: \(f(x; \theta) = \frac{1}{2}(1 + \theta x)\), com
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Considere uma amostra aleatória \(X_1\), ..., \(X_n\) de uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por:
\(f(x; \theta) = \frac{1}{2}(1 + \theta x)\),
com \(-11\) e \(-1<θ<1\). Sendo \(θ\) o parâmetro da função, nos procedimentos para a obtenção do estimador de máxima verossimilhança de \(θ\), considerando ln() a função logaritmo natural, a função log-verossimilhança é dada por:
- \(I(\theta; x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{1 + \theta x_i}\)
- \(I(\theta; x) = \ln(1) - \ln(2) + \ln(1 + \theta x))\)
- \(I(\theta; x) = \sum_{i=1}^{n} \ln(1 + \theta x_i))\)
- \(I(\theta; x) = n \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \sum_{i=1}^{n} \ln(1 + \theta x_i))\)
- \(I(\theta; x) = \ln\left(\frac{n}{2}\right) + \sum_{i=1}^{n} \ln(n + \theta x_i))\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
A função de verossimilhança para a amostra \(X_1,\dots,X_n\) é o produto das densidades: \(L(\theta;\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n \tfrac{1}{2}(1+\theta x_i)\).
Como o fator \(\tfrac12\) é constante em i, ele pode ser separado: \(L(\theta;\mathbf{x})=(\tfrac12)^n\prod_{i=1}^n(1+\theta x_i)\).
Aplicando a log-transformação e usando a propriedade do logaritmo de potência e produto, obtemos
\(\ell(\theta;\mathbf{x})=\ln L(\theta;\mathbf{x})=\ln\big((\tfrac12)^n\big)+\ln\big(\prod_{i=1}^n(1+\theta x_i)\big)\).
Finalmente, pelo fato de \(\ln(a^n)=n\ln a\) e \(\ln\prod = \sum \ln\), resulta
\(\ell(\theta;\mathbf{x})=n\ln\!\big(\tfrac12\big)+\sum_{i=1}^n\ln(1+\theta x_i)\), que é a expressão indicada na alternativa.
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