Questão FC281645
Sejam \(X_1\), ...., \(X_n\) uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição geométrica de parâmetro \(θ\) e função de probabilidade \(f(x|\theta) = \theta (1 - \the
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Sejam \(X_1\), ...., \(X_n\) uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição geométrica de parâmetro \(θ\) e função de probabilidade \(f(x|\theta) = \theta (1 - \theta)^{x-1}\), \(x=1,2,3,\cdots\), e \(0 < \theta < 1\). Seja \(\hat{\theta}_{EMV}\) o estimador de máxima verossimilhança de \(\theta\) e seja \(\hat{\theta}_{MM}\) o estimador pelo método dos momentos de \(\theta\), é corretor afirmar que
- \(\hat{\theta}_{EMV} > \hat{\theta}_{MM}\)
- não é possível encontrar um estimador para \(\theta\) pelo método da máxima verossimilhança.
- \(\hat{\theta}_{EMV} < \hat{\theta}_{MM}\)
- não é possível encontrar um estimador para \(\theta\) pelo método dos momentos.
- \(\hat{\theta}_{EMV} = \hat{\theta}_{MM}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A alternativa correta afirma que os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) e pelo método dos momentos (MM) coincidem: \(\hat\theta_{EMV}=\hat\theta_{MM}\).
Para o EMV, a verossimilhança é \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \theta(1-\theta)^{x_i-1}=\theta^n(1-\theta)^{\sum_i x_i - n}\). A log-verossimilhança é \(\ell(\theta)=n\ln\theta+(\sum_i x_i-n)\ln(1-\theta)\). Derivando e igualando a zero: \(\dfrac{n}{\theta}-\dfrac{\sum_i x_i-n}{1-\theta}=0\), o que leva a \(\hat\theta_{EMV}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\).
No método dos momentos, \(\mathbb{E}[X]=1/\theta\) e o primeiro momento amostral é \(\bar X=\dfrac{\sum_i x_i}{n}\). Igualando \(1/\theta=\bar X\) obtém-se \(\hat\theta_{MM}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\).
Conclusão: ambos os procedimentos produzem o mesmo estimador \(\hat\theta=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\), isto é, o recíproco da média amostral.
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