Questão FC281647
Considere uma regressão simples \(y = \alpha + \beta x + ε\), estimada por mínimos quadrados ordinários e máxima verossimilhança, considerando que os erros têm distribuição normal.
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2023
Considere uma regressão simples \(y = \alpha + \beta x + ε\), estimada por mínimos quadrados ordinários e máxima verossimilhança, considerando que os erros têm distribuição normal.
Diante dessas informações, é correto afirmar que os estimadores de máxima verossimilhança de \(\alpha\) e \(\beta\)
- são iguais aos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é viesado.
- são iguais aos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é inconsistente.
- são menores que os de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é inconsistente.
- são maiores que os de mínimos quadrados, e o estimador de máxima verossimilhança da variância é não viesado.
- são diferentes dos de mínimos quadrados, mas o estimador de máxima verossimilhança da variância é inconsistente.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Em regressão linear com erros normais, a função de verossimilhança leva à minimização da soma dos quadrados dos resíduos, que são as mesmas equações normais do MQO; por isso os estimadores de \( \alpha \) e \( \beta \) por máxima verossimilhança coincidem com os do MQO.
No entanto, o estimador de máxima verossimilhança da variância dos erros é
\( \hat{\sigma}^2_{MV}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\hat{\varepsilon}_i^2 \),
enquanto o estimador não-viesado do MQO usa divisor \(n-2\): \( \hat{\sigma}^2_{MQO}=\dfrac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n\hat{\varepsilon}_i^2 \).
Logo, \( \hat{\sigma}^2_{MV} \) é viesado para baixo, com \( E[\hat{\sigma}^2_{MV}]=\dfrac{n-2}{n}\sigma^2 \) (viés = \(-2\sigma^2/n\)), mas é consistente quando \( n\to\infty \).
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