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Questão FC281649

Seja (X1, X2, ..., Xn) variáveis aleatórias independentes e distribuídas segundo uma distribuição normal com média \(\mu ∈ \mathbb{R}\) e variância \(σ^2 > 0\). Então, é correto af

Característica dos Estimadores

VUNESP · 2023

Seja (X1, X2, ..., Xn) variáveis aleatórias independentes e distribuídas segundo uma distribuição normal com média \(\mu ∈ \mathbb{R}\) e variância \(σ^2 > 0\). Então, é correto afirmar:

  1. O estimador de \(σ^2\) pelo método dos momentos é igual ao segundo momento amostral.
  2. Os estimadores de máxima verossimilhança de \(\mu\) e \(σ^2\) são não viciados (não viesados ou não tendenciosos).
  3. O método de máxima verossimilhança e o método dos momentos produzem os mesmos estimadores para \(\mu\) e para \(σ^2\).
  4. É necessário fazer uma correção no estimador de máxima verossimilhança de \(\mu\) para se ter um estimador não viciado.
  5. O estimador de máxima verossimilhança de \(σ^2\) pode gerar valores negativos.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Método de máxima verossimilhança e método dos momentos geram os mesmos estimadores para \( \mu \) e \( \sigma^2 \) na normal: \(\hat\mu=\bar X\) e \(\hat\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\).

No método dos momentos iguala-se o primeiro momento teórico \(E[X]=\mu\) ao primeiro momento amostral \(\bar X\), obtendo \(\hat\mu=\bar X\). Igualando o segundo momento \(E[X^2]=\mu^2+\sigma^2\) ao segundo momento amostral e eliminando \(\mu\) obtém-se \(\hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar X)^2\).

No MLE deriva-se a log-verossimilhança da normal em relação a \(\mu\) e \(\sigma^2\); as equações normais resultantes levam às mesmas soluções acima, razão pela qual ambos os métodos coincidem neste caso.

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