Considere X1, …, Xn uma amostra aleatória de uma distribuição Poisson de média μ em que \(\mu \ge 5\). Denotando a média amostral por \(\bar{X}\) , então o estimador de máxima e ve

Gabarito

Errado

Comentário do professor

O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para a Poisson, sem restrição, é a média amostral \( \bar X \). A função de verossimilhança é proporcional a \(e^{-n\mu}\mu^{n\bar X}\), com log-verossimilhança \( -n\mu + n\bar X\ln\mu\); derivando e igualando a zero obtém-se \( \hat\mu=\bar X\).

Como há a restrição conhecida \( \mu\ge 5\), o EMV deve ser obtido maximizando a verossimilhança apenas sobre o conjunto permitido. Por ser a log-verossimilhança estritamente côncava, a solução é ou o ponto crítico \( \bar X\) (se está no conjunto) ou a fronteira do conjunto (se o ponto crítico estiver fora).

Assim, se \( \bar X\ge 5\) escolhe-se \( \hat\mu=\bar X\); se \( \bar X<5\) a máxima verossimilhança no domínio \( \mu\ge 5\) ocorre na fronteira, dando \( \hat\mu=5\). Em síntese: \( \hat\mu=\max\{5,\bar X\}\).