Questão FC281654
Sobre o estimador de máxima verossimilhança para um ou mais parâmetros da distribuição de uma variável aleatória, baseados em uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma popu
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2020
Sobre o estimador de máxima verossimilhança para um ou mais parâmetros da distribuição de uma variável aleatória, baseados em uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma população, é correto afirmar:
- para o parâmetro variância, ele é diferente do estimador obtido pelo método dos momentos, quando a variável aleatória em estudo segue a distribuição normal.
- ele é um estimador consistente para a variância da população quando a variável aleatória em estudo segue a distribuição normal.
- ele é um estimador não viesado da variância da população quando a variável aleatória em estudo segue a distribuição normal.
- para variáveis aleatórias contínuas, ele sempre pode ser obtido como solução de um sistema de equações obtido a partir da derivada primeira da função de verossimilhança.
- para a estimação da média e da variância de uma distribuição exponencial, ele assume diferentes valores.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
B
Comentário do professor
O estimador de máxima verossimilhança para a variância de uma variável com distribuição Normal é dado por \( \hat\sigma^2_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\), ou seja, a soma dos resíduos em relação à média amostral dividida por \(n\).
Temos \(E[\hat\sigma^2_{MLE}]=\frac{n-1}{n}\sigma^2\), portanto o estimador é viesado para amostras finitas, mas o viés tende a zero quando \(n\to\infty\) (pois \(\frac{n-1}{n}\to1\)).
Além disso, a variância de \(\hat\sigma^2_{MLE}\) decai com \(n\) (proporcional a \(1/n\)), ou seja, \(\mathrm{Var}(\hat\sigma^2_{MLE})\to0\) quando \(n\to\infty\).
Como o viés e a variância vão a zero, o estimador converge em probabilidade para \(\sigma^2\); logo, é um estimador consistente de \(\sigma^2\) no caso normal.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em