Questão FC281655
Seja X a altura (em m) e Y o peso (em kg) de um indivíduo. Uma amostra aleatória de n elementos de uma população será selecionada para a estimação da altura média \(μ_X\) e do peso
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2020
Seja X a altura (em m) e Y o peso (em kg) de um indivíduo. Uma amostra aleatória de n elementos de uma população será selecionada para a estimação da altura média \(μ_X\) e do peso médio \(μ_Y\) dos elementos dessa população. Sabe- se, de estudos anteriores, que o desvio padrão de X é \(σ_X\) = 0,07 m, o desvio padrão de Y é \(σ_Y = 12,33\) kg e que a correlação entre as duas variáveis é \(ρ_{XY} = 0,72\). Supondo-se que a distribuição conjunta das duas variáveis segue uma distribuição normal bidimensional dada por
\(f(x, y; μ_X, μ_Y, σ_X, σ_y, ρ_{XY}) = 0,266 * exp[–211,879*(x – μ_X)^2\)
\(+ 0,866 * (x – μ_X)*(y – μ_Y) – 0,007*(y – μ_Y)^2 ]\)
é correto afirmar que as estimativas de máxima verossimilhança para as médias \(μ_X\) e \(μ_Y\) são, respectivamente:
- as médias amostrais de X e de Y multiplicadas por \(1,72 = (1 + ρ_{XY})\).
- as médias amostrais de X e de Y multiplicadas por \(1,52 = [1 + (ρ_{XY})^2]\).
- a média amostral de X e a média amostral de Y.
- as médias amostrais de X e de Y multiplicadas por \(1,36 = (1 + ρ_{XY} /2)\).
- a média amostral de X mais \(0,05 m = (ρ_{XY} * σ_X)\) e a média amostral de Y mais 8,88 \(kg = (ρ_{XY} * σ_Y\)).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A função de verossimilhança da normal bivariada, com \(σ_X\), \(σ_Y\) e \(ρ_{XY}\) conhecidos, é exponencial de uma expressão quadrática em \((x_i-μ_X)\) e \((y_i-μ_Y)\).
Ao tomar o logaritmo da verossimilhança e derivar em relação a \(μ_X\) e \(μ_Y\), obtém-se equações lineares do tipo \(\sum_{i=1}^n (x_i-μ_X)=0\) e \(\sum_{i=1}^n (y_i-μ_Y)=0\).
Resolvendo essas equações vem que \(\hat{μ}_X=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) e \(\hat{μ}_Y=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i\). Ou seja, as **estimativas de máxima verossimilhança** para \(μ_X\) e \(μ_Y\) são as **médias amostrais** de X e de Y, respectivamente.
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