Questão FC281656
Sobre os métodos de máxima verossimilhança e o de momentos, é correto afirmar que
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2021
Sobre os métodos de máxima verossimilhança e o de momentos, é correto afirmar que
- o método de máxima verossimilhança e o de momentos fornecem diferentes estimadores para a variância de uma distribuição normal.
- o método de máxima verossimilhança sempre fornece um estimador, independentemente da distribuição e do parâmetro a ser estimado.
- o método de momentos fornece dois estimadores para o parâmetro λ da distribuição de Poisson.
- o estimador do método de momentos para o parâmetro Ɵ da distribuição da variável aleatória contínua Uniforme X em [0, Ɵ] é igual à média amostral.
- na distribuição exponencial não é possível obter estimador pelo método de momentos.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para a distribuição de Poisson vale a propriedade básica E(X)=Var(X)=λ. Essa igualdade é a razão pela qual o método dos momentos pode gerar mais de um estimador para λ: podemos igualar momentos amostrais distintos aos momentos teóricos.
Pelo primeiro momento, iguala-se a média amostral \( \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \) a \(E(X)=\lambda\), obtendo o estimador simples \(\hat{\lambda}_1=\bar{X}\).
Pelo segundo momento, considera-se o momento bruto \(m_2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2\) e iguala-se a \(E(X^2)=\lambda+\lambda^2\). Isso leva à equação quadratic
\(\lambda^2+\lambda-m_2=0\), cuja solução positiva fornece outro estimador: \(\hat{\lambda}_2=\dfrac{-1+\sqrt{1+4\,m_2}}{2}\).
Assim, o método dos momentos fornece dois estimadores distintos para λ: \(\hat{\lambda}_1=\bar X\) e \(\hat{\lambda}_2\) acima (adotando-se a raiz positiva).
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