Um pesquisador, interessado em descobrir a média de uma variável em uma população, colheu uma amostra de n elementos dessa população. Ao calcular a média amostral, no entanto, equi

Gabarito

D

Comentário do professor

Seja a média amostral correta \(\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) e o estimador usado pelo pesquisador \(\hat{\mu}=\dfrac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n X_i\). Note que \(\hat{\mu}=\dfrac{n}{n+1}\bar{X}\).

Calculando a esperança: \(E(\hat{\mu})=\dfrac{n}{n+1}E(\bar{X})=\dfrac{n}{n+1}\mu\). Assim o viés é \(E(\hat{\mu})-\mu=-\dfrac{\mu}{n+1}\), diferente de zero para qualquer finite n, logo o estimador é viesado.

Quanto à consistência, sabemos que \(\bar{X}\xrightarrow{p}\mu\) quando \(n\to\infty\) e \(\dfrac{n}{n+1}\to1\). Portanto \(\hat{\mu}=\dfrac{n}{n+1}\bar{X}\xrightarrow{p}1\cdot\mu=\mu\), ou seja, converge em probabilidade para o parâmetro.

Conclusão: o estimador é viesado (viés não nulo para n finito) e consistente (converge para \(\mu\) quando \(n\to\infty\)).