Considere X1, …, Xn uma amostra aleatória de uma distribuição Poisson de média θ. É correto afirmar que a família conjugada deste modelo é:

Gabarito

B

Comentário do professor

A família Gama é a conjugada natural para o parâmetro de média \( \theta \) em uma amostra Poisson. Conjugada significa que, escolhida a priori nessa família, a distribuição a posteriori permanece na mesma família após incorporar os dados.

Para \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. Poisson(\( \theta\)), a verossimilhança satisfaz \(L(\theta)\propto \theta^{\sum x_i}e^{-n\theta}\).

Se adotarmos a priori \( \theta\sim\) Gama\((\alpha,\beta)\), então a posteriori é proporcional ao produto da priori pela verossimilhança, isto é \( \theta^{\alpha-1+\sum x_i}e^{-(\beta+n)\theta}\).

Logo, a distribuição posteriori é \( \) Gama\((\alpha+\sum x_i,\;\beta+n)\) — equivalente a \( (\alpha+n\bar x,\;\beta+n)\) usando \( \bar x\). Portanto a família conjugada é a Gama.