Questão FC281660
Suponha que o comprimento X, em metros, das novas vigas fabricadas em uma indústria é uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme no intervalo (0, θ). O fabricante d
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2021
Suponha que o comprimento X, em metros, das novas vigas fabricadas em uma indústria é uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme no intervalo (0, θ). O fabricante deseja obter uma estimativa Bayesiana para θ e adota a seguinte densidade a priori para o parâmetro θ: \(\pi(θ) = \frac{18}{θ^3}, θ \ge 3.\) Uma amostra aleatória de 6 vigas selecionadas da linha de produção apresentou os comprimentos (em metros): 3,5; 6,0; 7,0; 6,5; 4,5 e 2,5. A estimativa Bayesiana para θ, com relação à função perda quadrática, é
- 5,0.
- 3,0.
- 7,0.
- 8,0.
- 6,0.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Para esta situação, a priori é dada por \(\pi(θ)=\dfrac{18}{θ^3}\). Reconhecemos essa forma como uma distribuição do tipo Pareto com parâmetros \(a=3\) e \(b=2\).
Com amostra de tamanho \(n=6\) e máximo amostral \(X_{(n)}=7\), a posterior para \(θ\) é proporcional a \(\theta^{-(b+n+1)}\) para \(\theta>\max\{a,X_{(n)}\}\), isto é, uma Pareto com parâmetro \(b+n\) e limite inferior \(m=\max\{3,7\}=7\).
O estimador de Bayes sob a perda quadrática coincide com a esperança posterior: \(\mathbb{E}[θ\mid \text{dados}]=\dfrac{b+n}{b+n-1}\,m\). Substituindo, \(\dfrac{2+6}{2+6-1}\cdot 7 = 8\).
Logo, a estimativa Bayesiana de \(θ\) é 8,0.
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