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Questão FC281661

A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre uma população com base nos dados de amostra. Um dos itens básicos nesse processo é a estimação de parâmetros, q

Característica dos Estimadores

VUNESP · 2023

A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre uma população com base nos dados de amostra. Um dos itens básicos nesse processo é a estimação de parâmetros, que pode ser realizado por ponto ou por intervalo. Um estimador \(\hat{θ}\) do parâmetro \(θ\) é qualquer função das observações de uma amostra aleatória de tamanho n da variável X com função de distribuição de probabilidade (ou função de probabilidade), f(X|\(θ\)), ou seja, \(\hat{θ}\)= f(X1, X2, ..., Xn). Logo, um estimador também é uma variável aleatória. Considerando que:

 

E(.) é a função esperança;

Var(.) é a função variância;

B(.) é a função viés; e

\(\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\) é o limite da função quando n tende ao infinito.

 

Sobre as propriedades desejáveis dos estimadores, assinale a alternativa correta.

  1. Um estimador \(\hat{θ}\) é não viesado (ou viciado) para um parâmetro \(θ\) se \(B(\hat{θ})=E(\hat{θ})-θ\).
  2. Seja T uma estatística suficiente e completa e S um estimador não viciado de \(θ\). Então, \(\hat{θ}\) = E(S|T) é o único estimador não viciado de \(θ\) baseado em T e é o estimador não viciado de variância uniformemente mínima (ENVVUM) para \(θ\).
  3. Um estimador \(θ\) é consistente se: (i) \(\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\) \(B(\hat{θ })=E(\hat{θ })-θ\); e (ii) \(\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\) Var \((\hat{θ })=θ\).
  4. Dados dois estimadores e \(\hat{θ }_1\) e \(\hat{θ }_2\), ambos não viesados para um parâmetro \(θ\), dizemos que \(θ _1\) é mais eficiente do que \(\hat{θ }_2\) se: \(Var \hat{θ }_2 < Var\hat{θ }_1\).
  5. \(\hat{θ }\) será um estimador ótimo para \(θ\) se for viesado, consistente e eficiente.
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Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa afirma o resultado do Teorema de Lehmann–Scheffé: se T é uma estatística suficiente e completa e S é um estimador não viciado de \(θ\), então \(\, \hat{θ}=E(S\mid T)\,\) é o estimador não viciado baseado em T com menor variância.

Pela lei da esperança total temos \(E(\,E(S\mid T)\,)=E(S)=θ\), portanto \(\hat{θ}\) é não viciado. Pela Rao–Blackwellização, condicionar em T não aumenta a variância: \(Var(E(S\mid T))\le Var(S)\), garantindo redução (ou igualdade) da variância.

A completude de T assegura a unicidade do estimador não viciado baseado em T: qualquer outro estimador não viciado função de T coincide com \(E(S\mid T)\). Assim, \(\hat{θ}\) é o ENVVUM (estimador não viciado de variância uniformemente mínima) para \(θ\).

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