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Questão FC281662

A fim de estimar a probabilidade θ de sucesso em uma população X ~ Bernoulli (θ), foi conduzido o seguinte experimento em duas etapas: inicialmente, observou -se uma amostra aleató

Característica dos Estimadores

VUNESP · 2022

A fim de estimar a probabilidade θ de sucesso em uma população X ~ Bernoulli (θ), foi conduzido o seguinte experimento em duas etapas: inicialmente, observou -se uma amostra aleatória X1, … , Xn, de tamanho n e, em seguida, observou-se uma nova amostra aleatória \(X_{ n + 1}, \cdots, X_{n +m}\), de tamanho m, independentemente da primeira amostra. Suponha que os seguintes estimadores estão sendo propostos para θ:

\(\hat{ \theta}_1 = { \large 1 \over n} \sum_{i =1}^n X_i^2\) e \(\hat{ \theta}_2 = { \large 1 \over 2} { \begin{pmatrix} { \large 1 \over n} \sum_{ i =1}^n X_i + { \large 1 \over m} \sum_{ i = n+ 1}^{n + m} X_i \end{pmatrix}}\)   Uma das propriedades desejáveis de um estimador é que ele tenha um erro quadrático médio pequeno. O estimador \(\hat{ \theta}_2\) terá erro quadrático médio menor que o estimador \(\hat{ \theta}_2\) terá erro quadrático médio menor que o estimador \(\hat{ \theta}_1\) se, e somente se:

  1. 3m > n.
  2. 5m > n.
  3. m > 5.
  4. m < n/2.
  5. 3m > n - 3.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Como \(X\) é Bernoulli, temos \(X_i^2=X_i\), logo \(\hat\theta_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) (média amostral).

Calculemos expectativas e variâncias: \(E[\hat\theta_1]=\theta\) e \(Var(\hat\theta_1)=\dfrac{\theta(1-\theta)}{n}\).

Para \(\hat\theta_2=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i+\tfrac{1}{m}\sum_{i=n+1}^{n+m}X_i\big)\) também \(E[\hat\theta_2]=\theta\) (viés zero) e, por independência,

\(Var(\hat\theta_2)=\dfrac{1}{4}\Big(\dfrac{\theta(1-\theta)}{n}+\dfrac{\theta(1-\theta)}{m}\Big)=\dfrac{\theta(1-\theta)}{4}\Big(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}\Big).\)

Como EQM=variância aqui, exigimos \(Var(\hat\theta_2)0\) obtemos

\(\dfrac{1}{4}\Big(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}\Big)<\dfrac{1}{n}\Rightarrow 1+\dfrac{n}{m}<4\Rightarrow 3m>n.\)

Portanto, \(\hat\theta_2\) tem menor EQM que \(\hat\theta_1\) se, e somente se, 3m > n.

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