Questão FC281669
Qual afirmação é correta em relação aos intervalos de confiança?
Intervalos de Confiança
VUNESP · 2024
A fim de conhecer o salário médio mensal, em reais, dos recém-formados de duas áreas de trabalho, foi realizado um levantamento com uma amostra aleatória de 100 recém-formados da área de trabalho X e uma amostra aleatória de 170 recém-formados da área de trabalho Y. Considerando para as duas áreas de trabalho, que o salário mensal segue uma distribuição Normal com médias μX e μY e o mesmo desvio-padrão populacional, foi construído um intervalo com 95% de confiança para a média do salário mensal com variância conhecida para cada uma das áreas de trabalho:
Área de trabalho X => IC(μX)95%: [R$2.700,00 ; R$3.300,00]
Área de trabalho Y => IC(μY)95%: [R$3.270,00 ; R$3.730,00]
Qual afirmação é correta em relação aos intervalos de confiança?
- A amplitude do intervalo de confiança do salário médio mensal dos recém-formados da área de trabalho X é maior porque o tamanho da amostra é menor.
- Ao comparar os intervalos de confiança, pode-se afirmar com 5% de significância que o salário médio mensal populacional dos recém-formados da área de trabalho Y é maior do que o salário médio mensal populacional dos recém-formados da área de trabalho X.
- Não é possível comparar o salário médio mensal populacional dos recém-formados das duas áreas devido ao tamanho da amostra ser diferente.
- Com 95% de confiança, pode-se afirmar que o salário médio mensal populacional dos recém-formados das duas áreas é maior que R$3.500,00.
- Ao comparar os intervalos de confiança, pode-se afirmar com 5% de significância que o salário médio mensal populacional dos recém-formados da área de trabalho Y é diferente do salário médio mensal populacional dos recém-formados da área de trabalho X.
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Gabarito
A
Comentário do professor
A afirmação está correta porque a **amplitude** do intervalo de confiança é a diferença entre limite superior e inferior. Para X: 3.300−2.700 = R$600; para Y: 3.730−3.270 = R$460.
Com variância populacional conhecida e mesma para ambas, a meia-amplitude (ou o termo de erro) é dada por \(z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), logo a amplitude total é \(2z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Como \(z_{\alpha/2}\) e \(\sigma\) são iguais para X e Y, a amplitude é **inversamente proporcional** a \(\sqrt{n}\). Assim, com \(n_X=100\) e \(n_Y=170\), temos \(\sqrt{100}=10<\sqrt{170}\), o que gera maior erro padrão e, portanto, maior amplitude em X.
Em resumo: menor tamanho de amostra ⇒ maior \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) ⇒ maior amplitude do IC; por isso a alternativa é correta.
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