Questão FC281676
Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 , que foi extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída de média μ e variância σ2 conhecida foi obtido um inter
Intervalos de Confiança
VUNESP · 2021
Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 , que foi extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída de média μ e variância σ2 conhecida foi obtido um intervalo de confiança de 90% para μ igual a [ 393,44 ; 406,56 ]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 400, independente da primeira, foi extraída também, com reposição, da mesma população, fornecendo um outro intervalo de confiança de 95% para μ.
Dados: Se Z tem distribuição normal padrão, então a probabilidade P(Z ≥ 1,96) = 0,025; a probabilidade P(Z ≥ 1,64) = 0,050; e a probabilidade P(Z ≥ 1,28) = 0,100.
Se este segundo intervalo apresentou um limite superior igual a 413,92, então, o respectivo limite inferior é igual a
- 396,08.
- 398,24.
- 400,20.
- 402,16.
- 406,08.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Um intervalo de confiança para a média é \(IC=\left(\bar X - Z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n};\;\bar X + Z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\).
Do primeiro IC 90% = [393,44; 406,56] com \(n=100\) e \(Z_{0,05}=1{,}64\), a meia-ampitude é \(406{,}56-400=6{,}56\). Assim \(1{,}64\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}=6{,}56\), daí \(\sigma=40\).
No segundo IC 95% com \(n=400\) e \(Z_{0,025}=1{,}96\), o limite superior é 413,92. Temos \( \bar X +1{,}96\cdot\dfrac{40}{\sqrt{400}}=413{,}92\).
Como \(\dfrac{40}{\sqrt{400}}=2\), \(1{,}96\cdot2=3{,}92\), então \(\bar X=413{,}92-3{,}92=410\).
O limite inferior é \(\bar X-1{,}96\cdot2=410-3{,}92=\) 406,08, que é a resposta.
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