Questão FC281702
Uma forma de comparar as médias μx e μy de duas populações normais independentes X e Y, respectivamente, com variância comum e desconhecida σ2, é através do Intervalo de confiança
Intervalos de Confiança
VUNESP · 2022
Uma forma de comparar as médias μx e μy de duas populações normais independentes X e Y, respectivamente, com variância comum e desconhecida σ2, é através do Intervalo de confiança para a diferença entre as médias, dado por
\(\bar{x} - \bar{y} \pm q_t x S_p x \sqrt{ { \large 1 \over n} + { \large 1 \over m}},\)
com \(\bar{x}\) representando a média observada em uma amostra aleatória de tamanho n da população X, \(\bar{y}\) a média observada em uma amostra aleatória de tamanho m da população Y, Sp é o desvio padrão amostral combinado observado nas amostras, e qt é um quantil da distribuição t-Student. Se y é o coeficiente de confiança desejado no intervalo e Tc representa a distribuição t-Student com c graus de liberdade, o quantil qt deve satisfazer a seguinte probabilidade:
- \(P(- q_t \le T_{n + m} \le q_t) = y\)
- \(P( T_{n + m} \ge q_t) = { \large 1 -y \over 2}\)
- \(P( - q_t \le T_{n+ m-2} \le q_t) = { \large 1 - y \over 2}\)
- \(P(0 \le T_{n + m-2} \le q_t) = { \large y \over 2}\)
- \(P (T_{ n + m} \ge q_t) =1 - y\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
A estatística usada no intervalo para a diferença de médias é a t-Student com n+m-2 graus de liberdade: \(T=\dfrac{\bar{x}-\bar{y}-(\mu_x-\mu_y)}{S_p\sqrt{1/n+1/m}}\). Queremos um intervalo central de confiança de nível \(y\), isto é \(P(-q_t\le T_{n+m-2}\le q_t)=y\).
Pela simetria da distribuição t em torno de zero, a probabilidade do lado positivo entre 0 e \(q_t\) é metade da probabilidade central. Assim,
para definir \(q_t\) temos \(P(0\le T_{n+m-2}\le q_t)=\dfrac{y}{2}\).
Em outras palavras, \(q_t\) é o quantil positivo tal que a área acumulada entre 0 e \(q_t\) corresponde a metade do nível de confiança.
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