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Questão FC281704

O tempo (X) entre as chegadas de e-mails a uma conta tem distribuição Exponencial com média de 1/α minutos, dada pela f.d.p. f(x) = α exp(–ax). Observando uma amostra de n=100 e-ma

Intervalos de Confiança

VUNESP · 2021

O tempo (X) entre as chegadas de e-mails a uma conta tem distribuição Exponencial com média de 1/α minutos, dada pela f.d.p. f(x) = α exp(–ax). Observando uma amostra de n=100 e-mails, e gerando a estatística \(\overline{X}\), podemos afirmar que:

  1. o tempo total nos n e-mails segue uma distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
  2. intervalos de confiança (95%) para α é \(\begin{bmatrix} \frac{\overline{X}}{1-1,96} ; \frac{\overline{X}}{1+1,96} \end{bmatrix}\).
  3. intervalos de confiança (95%) para α é \(\overline{X}\) \(\mp\) 1,96/\((10\overline{X})\).
  4. intervalos de confiança (95%) para 1/α é \(\begin{bmatrix} \frac{200\overline{X}}{q_1} ; \frac{200\overline{X}}{q_2} \end{bmatrix}\), em que q1 e q2 são obtidas da distribuição Qui-quadrado.
  5. \(\overline{X}\) é um estimador de Máxima Verossimilhança (MV) viciado para 1/α, mas 1/\(\overline{X}\) é não viciado para α.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Se \(X_i\) são i.i.d. Exponencial(\(\alpha\)), a soma \(S=\sum_{i=1}^n X_i\) tem distribuição Gamma(\(n,\alpha\)). O pivô relevante é \(2\alpha S\), que segue a distribuição \(\chi^2\) com \(2n\) graus de liberdade: \(2\alpha S\sim\chi^2_{2n}\).

Tomando probabilidade de cobertura \(1-\gamma\) e resolvendo a desigualdade \(\chi^2_{2n,\gamma/2}\le 2\alpha S\le\chi^2_{2n,1-\gamma/2}\) para \(1/\alpha\), obtemos

\(\displaystyle P\!\Big(\frac{2S}{\chi^2_{2n,1-\gamma/2}}\le\frac{1}{\alpha}\le\frac{2S}{\chi^2_{2n,\gamma/2}}\Big)=1-\gamma.\)

Com \(S=n\bar{X}\) e \(n=100\) (logo \(2S=200\bar{X}\)) e para 95% (\(\gamma=0{,}05\)), o intervalo é \(\big[\,\frac{200\bar{X}}{q_1}\;;\;\frac{200\bar{X}}{q_2}\,\big]\), onde \(q_1=\chi^2_{200,0{,}975}\) e \(q_2=\chi^2_{200,0{,}025}\).

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