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Questão FC281713

0,041João e Antônio são atletas de tiro esportivo, cujas chances de acertarem o alvo são 90% e 75%, respectivamente. Suponha que um deles é selecionado ao acaso e executa 6 tiros.

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2022

0,041João e Antônio são atletas de tiro esportivo, cujas chances de acertarem o alvo são 90% e 75%, respectivamente. Suponha que um deles é selecionado ao acaso e executa 6 tiros. Para decidir qual deles executou os tiros, adotou-se a regra: se o atirador acertar o alvo nos 6 tiros, diremos que o João foi o atirador; caso contrário, diremos que foi o Antônio. Usando a tabela da distribuição Binomial a seguir, obtenha as probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II, definidos como: Erro Tipo I: dizer que os tiros foram dados pelo João, quando, na realidade, foram dados pelo Antônio. Erro Tipo II: dizer que os tiros foram dados pelo Antônio, quando, na realidade, foram dados pelo João.

Distribuição Binominal: valores da função de probabilidade \(f_x (X) = P(X = x) = { \begin{pmatrix} n\\x \end{pmatrix}} p^x ( 1 - p)^{ n- x}\)

p
n x 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
 6   0  0,735 0,531 0,377 0,262 0,178 0,118 0,075 0,047 0,028 0,016 0,008 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000
1 0,232 0,354 0,399 0,393 0,356 0,303 0,244 0,187 0,136 0,094 0,061 0,037

0,020

 0,010 0,004 0,002 0,000 0,000

0,000
2 0,031 0,098 0,176 0,246 0,297 0,324 0,328 0,311 0,278 0,234 0,186 0,138 0,095 0,060 0,033 0,015 0,005 0,001

0,000
3 0,002 0,015 0,041 0,082 0,132 0,185 0,235 0,276 0,303 0,313 0,303 0,276 0,235 0,185 0,132 0,082 0,041 0,015

0,002
4 0,000 0,001 0,005 0,015 0,033 0,060 0,095 0,138 0,186 0,234 0,278 0,311 0,328 0,324 0,297 0,246 0,176 0,098

0,031
5 0,000 0,000 0,000 0,002 0,004 0,010 0,020 0,037 0,061 0,094 0,136 0,187 0,244 0,303 0,356 0,393 0,399 0,354

0,232
6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,008 0,016 0,028 0,047 0,075 0,118 0,178 0,262 0,377 0,531

0,735

As probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II são, respectivamente,

  1. 0,882 e 0,399.
  2. 0,132 e 0,015.
  3. 0,016 e 0,234.
  4. 0,178 e 0,469.
  5. 0,822 e 0,001.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Defina a variável aleatória X como o número de acertos em 6 tiros. Temos \(X\sim\) Binomial(\(n=6\), \(p\)) onde \(p\) é a probabilidade de acerto do atirador.

Erro Tipo I: dizer que foi o João quando, na verdade, foi o Antônio. Isso ocorre se o atirador (Antônio, com \(p=0{,}75\)) acertar os 6 tiros, isto é \(P(X=6\mid p=0{,}75)\). Pela tabela, \(P(X=6\mid p=0{,}75)=0{,}178\).

Erro Tipo II: dizer que foi o Antônio quando, na verdade, foi o João. Isso acontece se o atirador (João, com \(p=0{,}9\)) NÃO acertar todos os 6 tiros, ou seja \(1-P(X=6\mid p=0{,}9)\). Pela tabela, \(P(X=6\mid p=0{,}9)=0{,}531\), então o erro é \(1-0{,}531=0{,}469\).

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