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Questão FC281714

2,33 2,05 1,88 1,75 1,64 1,28 \(P ( Z \ge Z_c)\) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 Qual é o valor aproximado de “n” de forma que as probabilidades de cometer o Erro Tipo I e o Erro Tip

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2022

O comprimento X das fibras de algodão é uma das características determinantes da qualidade da produção na indústria têxtil. Suponha que a variável X tenha distribuição Normal com média μ e desvio padrão σ que dependem do fornecedor. Uma indústria recebe um lote dessas fibras, que podem ter vindo do fornecedor A ou do fornecedor B, cujos parâmetros na distribuição de X são, respectivamente: \(( \mu_A = 33; \sigma_A = 3)\) e \(( \mu_B = 36; \sigma_A = 6)\). Para decidir se o lote veio do fornecedor A (hipótese H0) ou do fornecedor B (hipótese H1), a indústria resolve selecionar uma amostra de tamanho “n” das fibras do lote e, se o comprimento médio das fibras selecionadas for grande \(( \bar{x} > K)\), onde k é uma constante, a indústria decide que o lote veio do fornecedor B; caso contrário, decide que veio do fornecedor A. Considere a seguinte tabela, que apresenta quantis da distribuição Normal de média zero e desvio padrão um.

Quantis da distribuição

Normal Z, de média zero e desvio padrão um.

Zc

 2,33 2,05 1,88 1,75 1,64 1,28
\(P ( Z \ge Z_c)\) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10

Qual é o valor aproximado de “n” de forma que as probabilidades de cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II sejam ambas iguais a 0,05?

  1. n = 16.
  2. n = 30.
  3. n = 25.
  4. n = 45.
  5. n = 50.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Temos as hipóteses: H0 com \(X\sim N(33,3^2)\) e H1 com \(X\sim N(36,6^2)\). A regra é: decidir H1 se \(\bar X>k\).

Para que o Erro Tipo I seja 0,05: \(P_{H_0}(\bar X>k)=0,05\). Como \(\bar X\) tem desvio \(3/\sqrt n\), obtém-se \(\dfrac{k-33}{3/\sqrt n}=1{,}64\), ou seja \(k=33+\dfrac{4{,}92}{\sqrt n}\).

Para que o Erro Tipo II seja 0,05: \(P_{H_1}(\bar X\le k)=0,05\). Aqui o desvio é \(6/\sqrt n\), levando a \(\dfrac{k-36}{6/\sqrt n}=-1{,}64\) e \(k=36-\dfrac{9{,}84}{\sqrt n}\).

Igualando as duas expressões de \(k\): \(33+\dfrac{4{,}92}{\sqrt n}=36-\dfrac{9{,}84}{\sqrt n}\). Daí \(\sqrt n=4{,}92\) e \(n\approx 24{,}2\). Arredondando para um tamanho amostral inteiro e prático, obtemos n = 25, que garante ambos os erros aproximadamente iguais a 0,05.

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