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Questão FC281721

A abordagem do teste de hipóteses para a inferência estatística é muito próxima à abordagem do intervalo de confiança. Essa equivalência se estende às diferenças entre duas médias,

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2024

A abordagem do teste de hipóteses para a inferência estatística é muito próxima à abordagem do intervalo de confiança. Essa equivalência se estende às diferenças entre duas médias, variâncias, razão de variâncias e assim por diante. Para o caso de uma única média populacional \(\mu\) com variância \(σ^2\) conhecida, considerando um nível de significância α e uma amostra aleatória de tamanho n dessa população, é correto afirmar:

  1. Para um teste de hipóteses \(H_0: \mu=\mu_0\) contra \(H_1:\mu<\mu_0\) é equivalente a calcular o intervalo de confiança \(100(1- \alpha)\%\) para \(\mu: \left[ \overline{x} - Z_{(\alpha/2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ; +\infty \right]\)
  2. Para um teste de \(H_0: \mu=\mu_0\) contra \(H_1:\mu<\mu_0\) é equivalente a calcular o intervalo de confiança \(100(1- \alpha)\%\) para \(\mu: \left[ -\infty; \overline{x} + Z_{(\alpha/2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\)
  3. Para um teste de \(H_0: \mu-\mu_0\) contra \(H_1:\mu ≠ \mu_0\) é equivalente a calcular o intervalo de confiança \(100(1- \alpha)\%\) para \(\mu: \left[ -\infty; \overline{X} + Z_{(\alpha/2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\)
  4. Para um teste de \(H_0:\mu=\mu_0\) contra \(H_1: \mu < \mu_0\) é equivalente a calcular o intervalo de confiança \(100(1- \alpha)\%\) para \(\mu: \left[ \overline{x} + Z_{(\alpha/2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\)
  5. Para um teste de\(H_0:\mu=\mu_0\) contra \(H_1: \mu > \mu_0\) é equivalente a calcular o intervalo de confiança \(100(1- \alpha)\%\) para \(\mu: \left[ \overline{X} \mp Z_{(\alpha/2)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Há uma correspondência direta entre testes e intervalos: rejeita-se H0 se, e somente se, o valor hipotético \( \mu_0 \) não estiver contido no intervalo de confiança de nível \(100(1-\alpha)\%\).

No caso proposto, com σ conhecida e teste unilateral \(H_1: \mu<\mu_0\), o intervalo equivalente, apresentado na alternativa, é o intervalo unilaterais com limite inferior: \(\displaystyle \left[\bar{x}-Z_{(\alpha/2)}\frac{\sigma}{\sqrt n}\;;\;+\infty\right)\).

A regra de decisão segue: se \( \mu_0\) ficar fora desse intervalo (ou seja, se \( \mu_0<\bar{x}-Z_{(\alpha/2)}\frac{\sigma}{\sqrt n}\)), então rejeita-se H0, pois o valor hipotético não é compatível com a região de confiança construída a \(1-\alpha\).

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