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Questão FC281725

Seja X uma variável com distribuição normal, cuja média é \(\mu\) e o desvio padrão \(σ\). \(\overline{X}\) e S são, respectivamente, a média e a variância amostrais obtidas atravé

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2023

Seja X uma variável com distribuição normal, cuja média é \(\mu\) e o desvio padrão \(σ\). \(\overline{X}\) e S são, respectivamente, a média e a variância amostrais obtidas através de uma amostra de 10 elementos. A estatística \({\large{\overline{X}- \mu \over S/\sqrt n}}\) terá distribuição:

  1. t, de Student, com 10 graus de liberdade.
  2. t, de Student, com 9 graus de liberdade.
  3. normal padrão.
  4. qui-quadrado com 10 graus de liberdade.
  5. qui-quadrado com 9 graus de liberdade.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Como a variável populacional \(X\) é normal e o desvio padrão populacional \(σ\) é desconhecido, substituímos \(σ\) pelo desvio amostral \(S\) na estatística \( \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \).

Essa razão envolve um numerador que é normal (pois \(\overline{X}\) é média de uma amostra de uma normal) e um denominador que contém \(S\), cuja construção depende de uma \emph{qui-quadrado} associada às variâncias amostrais.

Quando combinamos uma normal padrão com uma raiz de uma qui-quadrado dividida pelos seus graus de liberdade, obtemos a distribuição t de Student.

O número de graus de liberdade é \(n-1\) porque a variância amostral usa a média amostral na sua definição. Com \(n=10\), a estatística segue \(t\) de Student com 9 graus de liberdade.

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