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Questão FC281733

Uma variável aleatória X apresenta uma população normalmente distribuída e variância desconhecida. Deseja-se testar se a média \(μ\) dessa população difere de 20, a um nível de sig

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2020

Uma variável aleatória X apresenta uma população normalmente distribuída e variância desconhecida. Deseja-se testar se a média \(μ\) dessa população difere de 20, a um nível de significância \(α\), utilizando a distribuição t de Student. Para isto, extraiu-se uma amostra aleatória, com reposição, da população de tamanho 16, obtendo-se uma média amostral igual a 19,1 e variância 2,25.

 

Dados: Quantis da distribuição t de Student ( \(t_α\)) tal que a probabilidade \(P(t > t_α) = α\), com n graus de liberdade.

 

 

Considerando as hipóteses \(H_0\): \(μ = 20\) (hipótese nula) e \(H_1\): \(μ ≠ 20\) (hipótese alternativa), a conclusão é que \(H_0\)

  1. não é rejeitada ao nível de significância de 1% e é rejeitada ao nível de significância de 5%.
  2. é rejeitada ao nível de significância de 1% e não é rejeitada ao nível de significância de 5%.
  3. é rejeitada tanto ao nível de significância de 1% como ao nível de significância de 5%.
  4. é rejeitada para qualquer nível de significância entre 1% e 5%.
  5. não é rejeitada para qualquer nível de significância superior a 5%.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Estatística de teste: para média com variância desconhecida usamos \(T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\). Aqui \(\overline{X}=19{,}1\), \(\mu_0=20\), \(s=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\) e \(n=16\), logo o erro padrão é \(1{,}5/\sqrt{16}=0{,}375\).

Calculando: \(T=(19{,}1-20)/0{,}375=-0{,}9/0{,}375=-2{,}4\). Os graus de liberdade são \(n-1=15\).

Para teste bicaudal com \(\alpha=0{,}05\) o crítico é \(t_{0{,}025,15}\approx 2{,}131\); rejeita-se \(H_0\) se \(T<-2{,}131\). Como \(-2{,}4<-2{,}131\), rejeita-se a \(5\%\).

Para \(\alpha=0{,}01\) o crítico é \(t_{0{,}005,15}\approx 2{,}947\); rejeita-se \(H_0\) se \(T<-2{,}947\). Como \(-2{,}4>-2{,}947\), não se rejeita a \(1\%\).

Conclusão: \(H_0\) não é rejeitada ao nível de \(1\%\) e é rejeitada ao nível de \(5\%\).

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