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Questão FC281742

Seja {X1, . . ., Xn} uma amostra aleatória simples da variável aleatória X~ N(μ, σ2), sendo μ e σ2 desconhecidos. Para testar as hipóteses H0: σ2 = 4 e H1: σ2 > 4 pelo método da ra

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2021

Seja {X1, . . ., Xn} uma amostra aleatória simples da variável aleatória X~ N(μ, σ2), sendo μ e σ2 desconhecidos. Para testar as hipóteses H0: σ2 = 4 e H1: σ2 > 4 pelo método da razão da verossimilhança generalizada, considerando nível de significância de 0,05 e {x1, . . ., xn} a amostra observada, a região de rejeição de H0 pode ser escrita como:

  1. {Q ≥ q}, onde Q é uma estatística com distribuição qui-quadrado, calculada por Q = \(∑\) \(x_i^2\) e q é o valor que deixa 0,05 de área na cauda superior de uma distribuição qui-quadrado apropriada.
  2. {T ≥ t}, porque a variância é desconhecida e, assim, a região de rejeição de H0 deve ser feita com a distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade, sendo T = (\(\bar{x}\) – μ)/ σ e t tal que a área superior da distribuição t com n – 1 graus de liberdade seja 0,05.
  3. {T ≥ t}, sendo T = (\(\bar{x}\) – μ)2/4. Como a variância é desconhecida, a região de rejeição de H0 deve ser feita com a distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade, sendo t tal que a área superior da distribuição t com n – 1 graus de liberdade seja 0,05.
  4. {f ≥ F}, sendo f = \(\frac{s_1^2}{s_2^2}\) e Fn1 – 1,n2 – 0,95
  5. {Q ≥ c}, sendo Q = Σ {(xi – \(\bar{x}\))2}/4 e c tal que a função F da distribuição acumulada qui-quadrado com n – 1 graus de liberdade no ponto c é F(c) = 0,95.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A alternativa indicada descreve corretamente a regra de decisão para testar \(H_0:\sigma^2=4\) contra \(H_1:\sigma^2>4\) com nível de significância 0,05.

Sob \(H_0\), a estatística de teste baseada na variância amostral é \( \chi_0=\dfrac{s^2(n-1)}{\sigma^2}\). Substituindo \(\sigma^2=4\) e \(s^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{n-1}\) obtém-se \( \chi_0=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{4}\).

Portanto define-se Q=\(\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{4}\), que sob \(H_0\) segue a distribuição qui-quadrado com n−1 graus de liberdade.

A região de rejeição para nível 0,05, teste unilateral à direita, é \(\{\,\!Q\ge c\,\}\), onde c é o quantil tal que a função de distribuição acumulada qui-quadrado com n−1 g.l. satisfaz \(F(c)=0{,}95\).

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