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Questão FC281753

Um experimento é conduzido para verificar a hipótese de que uma variável aleatória X tenha distribuição binomial de parâmetros n = 2 e p = P(sucesso) = 0,5. Resultados de observaçõ

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2023

Um experimento é conduzido para verificar a hipótese de que uma variável aleatória X tenha distribuição binomial de parâmetros n = 2 e p = P(sucesso) = 0,5. Resultados de observações independentes de X são apresentados a seguir:

X:

 0 1 2

Frequência observada:

 46 110 44

São dados, a seguir, alguns valores da inversa da função de distribuição acumulada qui-quadrado, F–1 (q), com graus de liberdade apropriado para o teste qui-quadrado de aderência.

q

 0,9 0,925 0,95 0,975

0,99

F–1 (q)

 4,61 5,18 5,99

7,38

9,21

Assinale a alternativa correta.

  1. O número de graus de liberdade apropriado desse caso é igual a 197, que corresponde ao tamanho da amostra subtraído do número de categorias possíveis de X.
  2. O uso da estatística qui-quadrado, neste caso, é inapropriado, porque X tem apenas três categorias possíveis.
  3. O número de graus de liberdade apropriado desse caso é igual a três, que corresponde ao número de categorias possíveis de X.
  4. O teste rejeita a hipótese da distribuição teórica enunciada, ao nível de significância de 0,05, porque a estatística calculada, com base na amostra, é Q0 = 8,42 > Qc = 7,38.
  5. O teste aceita a hipótese da distribuição teórica enunciada, ao nível de significância de 0,05, porque a estatística calculada, com base na amostra, é Q0 = 2,04 < Qc = 5,99.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Sob a hipótese nula de que \(X\sim\) Binomial(\(n=2,p=0{,}5\)), as probabilidades são \(P(0)=0{,}25\), \(P(1)=0{,}5\), \(P(2)=0{,}25\). Com 200 observações, as **frequências esperadas** são 50, 100 e 50.

Calcula‑se a **estatística qui‑quadrado** pelo somatório \(Q_0=\sum (O-E)^2/E\):
\(Q_0=\dfrac{(46-50)^2}{50}+\dfrac{(110-100)^2}{100}+\dfrac{(44-50)^2}{50}=0{,}32+1{,}00+0{,}72=2{,}04\).

O número de **graus de liberdade** é \(k-1=3-1=2\). Para nível de significância 0,05 o **valor crítico** é \(Q_c=5{,}99\).

Como \(Q_0=2{,}04< Q_c=5{,}99\), não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula. Conclui‑se que, ao nível de 5%, os dados são compatíveis com a distribuição Binomial(2,0,5).

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