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Questão FC281760

Um experimento consiste em analisar 4 componentes, detectando o número de sucessos e o número de fracassos apresentados no experimento. A tabela a seguir refere-se ao resultado obt

Testes de Hipóteses

VUNESP · 2021

Um experimento consiste em analisar 4 componentes, detectando o número de sucessos e o número de fracassos apresentados no experimento. A tabela a seguir refere-se ao resultado obtido com uma série de 80 experimentos realizados aleatoriamente.

 

Número de sucessos e fracassos

 0 sucessos
4 fracassos		 1 sucesso
3 fracassos		 2 sucessos
2 fracassos		 3 sucessos
1 fracasso		 4 sucessos
0 fracassos

TOTAL

Número de experimentos

 2 14 39 16 9 80

Deseja-se testar, ao nível de significância de 5%, se o número de sucessos e o número de fracassos no experimento são igualmente prováveis por meio do teste qui-quadrado (χ2), com base na tabela fornecida. Utilizou-se a distribuição binomial \(P(x= K) = C_4^K { \begin{pmatrix} { \large 1 \over 2} \end{pmatrix}}^K { \begin{pmatrix} { \large 1 \over 2} \end{pmatrix}}^{(4- K)}\) para apurar o número de experimentos esperados em cada situação (k é o número de sucessos em cada experimento com 0 ≤ k ≤ 4). Então, o qui-quadrado observado \(\left ( X_C^2 \right )\) é igual a um valor

 

Dados: Quantis da distribuição qui-quadrado (χ2) tal que a probabilidade \(P \left( X^2 > X_a^2 \right)= \alpha\) , com n graus de liberdade.

 

  1. pertencente ao intervalo [7,0 ; 10], e a conclusão é de que não se deve rejeitar a hipótese de que o número de sucessos e o número de fracassos são igualmente prováveis.
  2. superior a 11,0, e a conclusão é de que não se deve rejeitar a hipótese de que o número de sucessos e o número de fracassos são igualmente prováveis.
  3. superior a 10,0, e a conclusão é de que se deve rejeitar a hipótese de que o número de sucessos e o número de fracassos são igualmente prováveis.
  4. inferior a 8,0, e a conclusão é de que se deve rejeitar a hipótese de que o número de sucessos e o número de fracassos são igualmente prováveis.
  5. pertencente ao intervalo [9,0 ; 12,0], e a conclusão é de que não se deve rejeitar a hipótese de que o número de sucessos e o número de fracassos são igualmente prováveis.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Usando a binomial \(P(X=k)=\binom{4}{k}(1/2)^4\) obtemos \(P=(1,4,6,4,1)/16\). Multiplicando por 80, os valores esperados são \(E=(5,20,30,20,5)\).

Calcule a estatística \(\chi^2=\sum (O-E)^2/E\) com \(O=(2,14,39,16,9)\):

\(\chi^2=\frac{(2-5)^2}{5}+\frac{(14-20)^2}{20}+\frac{(39-30)^2}{30}+\frac{(16-20)^2}{20}+\frac{(9-5)^2}{5}=10{,}3\) (aprox.).

Com 5 classes, os graus de liberdade são \(5-1=4\). O valor crítico para \(\alpha=0{,}05\) é aproximadamente \(9{,}49\).

Como o qui‑quadrado observado (~10,3) é superior a 10,0 e maior que o crítico 9,49, no nível de significância de 5% deve‑se rejeitar a hipótese de que sucessos e fracassos são igualmente prováveis.

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