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Questão FC281801

O número de casos confirmados de Covid-19 (Y) em função do número de dias a partir do primeiro caso (X) pode ser ajustado pela função Y = α \(exp^{βX}\). Com base na tabela e nos d

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VUNESP · 2021

O número de casos confirmados de Covid-19 (Y) em função do número de dias a partir do primeiro caso (X) pode ser ajustado pela função Y = α \(exp^{βX}\). Com base na tabela e nos dados, onde Z = ln(Y), podemos afirmar que:

X

 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Y

 1 2 3 6 10 18 33 61 111 202

\(\sum x_i= 110;\, \sum x_i^2 = 1540;\, \sum x_iy_i= 7868;\, \sum x_iz_i= 387;\, \sum y_i= 447;\, \sum y_i^2 = 58409;\, \sum z_i= 26;\, \sum z_i^2 = 98\)

 

  1. A Soma dos Quadrados dos Resíduos do ajuste é 0,17.
  2. As estimativas dos coeficientes são \(\hat{a}\) = -0,5 e \(\hat{β}\) =0,3  , aproximadamente.
  3. A taxa de crescimento no dia d é dada por 0,5 exp0,3d.
  4. As estimativas dos coeficientes são \(\hat{a}\) = -0,5 e \(\hat{β}\) 8,9, aproximadamente.
  5. A qualidade do ajuste pode ser medida pela Correlação de Pearson de 0,83.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Linearizando o modelo \(Y=\alpha e^{\beta X}\) obtemos \(Z=\ln(Y)=a+\beta X\) com a = \(\ln(\alpha)\). Aplicamos mínimos quadrados simples para estimar os coeficientes.

Para \(\beta\̂\) usamos \(\displaystyle \hat\beta=\frac{\sum x_i z_i-\frac{1}{n}\sum x_i\sum z_i}{\sum x_i^2-\frac{1}{n}(\sum x_i)^2}\). Substituindo os somatórios: \(\hat\beta=\dfrac{387-\frac{110\cdot26}{10}}{1540-\frac{110^2}{10}}=\dfrac{101}{330}\approx0,306\approx0,3\).

A estimativa do intercepto é \(\hat a=\bar z-\hat\beta\bar x\), com \(\bar z=2{,}6\) e \(\bar x=11\); adotando \(\hat\beta\approx0{,}3\) obtém‑se \(\hat a\approx-0{,}5\) (aprox.).

Como \(a=\ln(\alpha)\), a estimativa de \(\alpha\) é \(\hat\alpha=e^{\hat a}\), isto é \(\hat\alpha\approx e^{-0{,}5}\approx0{,}61\).

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